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球面のGauss曲率2(つどい微分幾何42)

微分方程式力を向上させたい!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回求めた双対標構を外微分して、構造方程式から球面のGauss曲率を求めましょう!

極座標表示を用いて



と半径rの球面をパラメータ表示し、動標構




で定めると、その双対標構は




となるのでした。

まずは を外微分すると、外微分の計算法則より



となります。
いま、rは定数であることに気をつけてください。

したがって、第一構造方程式の1つ目の式より、



となって、 はdvの関数倍であることがわかります。

次に を外微分すると、



となります。
接続形式 は反対称でしたから、



が成り立ち、 もdvの関数倍になります。
これを踏まえて上の式と第一構造方程式の2つ目の式を比べると、



であることがわかります。

したがって、



となります。

さて、接続形式をもう一度外微分しましょう。すると、



となり、これを第二構造方程式と比べることにより、Gauss曲率Kが



で与えられることがわかります。

どうでしょう、簡単だけどおもしろい計算だと思いませんか?

以前の計算との大きな違いは、球面の3次元空間への埋め込み方による量(第二基本量)を経由せずに計算している(内在的な量のみを使って計算している)ところですが、難しいことはおいておいて、微分形式の計算を楽しんでいただけたらなぁと思います◎

これからは同じ流儀で他の例を計算したいと思います!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

球面のGauss曲率1(つどい微分幾何41)

最近の日課は測地線関係の計算!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

さて、ついに今回の講演のメインテーマである微分形式によるGauss曲率の計算をするときがやってきました。
まずは一番基本的な球面の場合からいきたいと思います!

球面のパラメータ表示は極座標表示を用いて



と書けるのでした。
これをu、vで偏微分すると




となります。これらは直交していますが、長さが1ではないので正規直交基底にはなっていません。

そこでこれらを単位化したベクトルを使って正規直交基底を作ります。
具体的には




とおきます。
これを行列表示すると



と書けます。
ここで行列Aは以下のものです。



したがって双対標構は



より、




となります。

これらを外微分していけば接続形式とGauss曲率が計算できますが、それは次回!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

構造方程式(つどい微分幾何40)

台風で傘がオシャカに!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回の最後に「次回は構造方程式を導きます」と書きましたが、つどいの講演では構造方程式の証明は省略して構造方程式を使ってGauss曲率を計算するということをメインに据えましたので、ブログでもそうしようと思います。
というわけで今回は「構造方程式」のご紹介です。

まずは第一構造方程式から。
前回導入した「双対標構」を外微分すると、次の式が成り立ちます。これを第一構造方程式といいます。




ここで は1-formで反対称、つまり を満たし、「接続形式」と呼ばれます。

さらにこの接続形式を外微分すると次の式が成り立ちます。これを第二構造方程式といいます。



ここでKは求めたかったGauss曲率です。

まとめると、
「双対標構を外微分すると接続形式が求まり、接続形式を外微分するとGauss曲率が求まる」
ということですね◎

次回からは具体例を計算していきたいと思います!
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テーマ : 数学
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双対標構(つどい微分幾何39)

湿度高すぎ…。梅雨バテ気味、ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

台風にも負けずにブログ更新していきたいと思います=3

さて、前回は「動標構」というものを導入しました。
動標構とは、一言で言ってしまうと、
「曲面上の各点での接平面の正規直交基底
のことでした。

そして、曲面をとパラメータ表示すると、接平面はpをu、vで偏微分して得られるベクトル



で張られるので、2×2行列Aを用いて



と書くことができるのでした。

さて、この行列Aを用いて次のような一次微分形式(1-form)
を定めます。



これらは各点での「双対基底」と呼ばれるものになっています。

前回はのことを動標構と呼びましたが、のことを動標構と呼んでもよいので、のことは「双対標構」と呼べると思うのですが、この日本語を見たことがないのであまり自信がありません。

さて、次回はこの1-form達を微分していって「構造方程式」を導きます◎

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動標構(つどい微分幾何38)

ご無沙汰しております。ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

月日の経つのは早いもので、ブログを休んでいたら第5回関西すうがく徒のつどいの講演募集時期となってしまいました。今回も微分幾何をネタに応募したので、ひょっとするとまた講演させていただけるかもしれません◎

その前に昨年の発表の解説を終わらせてしまわないと=3
ということで、また少しずつ進んでいきたいと思います。

さて、微分形式を使って曲面のGauss曲率を計算する、ということに挑戦しているのでした。
微分形式の計算規則については前回(かなり前ですが)までで一通り紹介しました。
今回からは曲面のお話に戻って、曲面の動標構というものを導入したいと思います。

曲面上の各点には、その点で曲面に接する接平面というものがあります。
曲面を



とパラメータ表示すると、接平面はpをu、vで偏微分して得られるベクトル



で張られます。

さて、この曲面上の各点での接平面ごとに正規直交基底



をとります。
各点ごとにてんでバラバラにとってしまっては役に立たないので、連続的にとることにします。

さらに3つ目のベクトル



を考えると、ベクトルの組



は3次元空間の正規直交基底になっています。このベクトルの組のことを動標構と呼びます。

以後、動標構をとるときは



の向きが



の向きと揃うようにとることとします。

言い換えると、の一次結合で書けるので、2×2行列Aを用いて



と書けますが、このとき



と仮定する、ということです。

さて、次回はこの「双対」を導入します!
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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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