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球面のGauss曲率2(つどい微分幾何42)

微分方程式力を向上させたい!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回求めた双対標構を外微分して、構造方程式から球面のGauss曲率を求めましょう!

極座標表示を用いて



と半径rの球面をパラメータ表示し、動標構




で定めると、その双対標構は




となるのでした。

まずは を外微分すると、外微分の計算法則より



となります。
いま、rは定数であることに気をつけてください。

したがって、第一構造方程式の1つ目の式より、



となって、 はdvの関数倍であることがわかります。

次に を外微分すると、



となります。
接続形式 は反対称でしたから、



が成り立ち、 もdvの関数倍になります。
これを踏まえて上の式と第一構造方程式の2つ目の式を比べると、



であることがわかります。

したがって、



となります。

さて、接続形式をもう一度外微分しましょう。すると、



となり、これを第二構造方程式と比べることにより、Gauss曲率Kが



で与えられることがわかります。

どうでしょう、簡単だけどおもしろい計算だと思いませんか?

以前の計算との大きな違いは、球面の3次元空間への埋め込み方による量(第二基本量)を経由せずに計算している(内在的な量のみを使って計算している)ところですが、難しいことはおいておいて、微分形式の計算を楽しんでいただけたらなぁと思います◎

これからは同じ流儀で他の例を計算したいと思います!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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