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球面のGauss曲率1(つどい微分幾何41)

最近の日課は測地線関係の計算!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

さて、ついに今回の講演のメインテーマである微分形式によるGauss曲率の計算をするときがやってきました。
まずは一番基本的な球面の場合からいきたいと思います!

球面のパラメータ表示は極座標表示を用いて



と書けるのでした。
これをu、vで偏微分すると




となります。これらは直交していますが、長さが1ではないので正規直交基底にはなっていません。

そこでこれらを単位化したベクトルを使って正規直交基底を作ります。
具体的には




とおきます。
これを行列表示すると



と書けます。
ここで行列Aは以下のものです。



したがって双対標構は



より、




となります。

これらを外微分していけば接続形式とGauss曲率が計算できますが、それは次回!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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