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構造方程式(つどい微分幾何40)

台風で傘がオシャカに!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回の最後に「次回は構造方程式を導きます」と書きましたが、つどいの講演では構造方程式の証明は省略して構造方程式を使ってGauss曲率を計算するということをメインに据えましたので、ブログでもそうしようと思います。
というわけで今回は「構造方程式」のご紹介です。

まずは第一構造方程式から。
前回導入した「双対標構」を外微分すると、次の式が成り立ちます。これを第一構造方程式といいます。




ここで は1-formで反対称、つまり を満たし、「接続形式」と呼ばれます。

さらにこの接続形式を外微分すると次の式が成り立ちます。これを第二構造方程式といいます。



ここでKは求めたかったGauss曲率です。

まとめると、
「双対標構を外微分すると接続形式が求まり、接続形式を外微分するとGauss曲率が求まる」
ということですね◎

次回からは具体例を計算していきたいと思います!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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