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動標構(つどい微分幾何38)

ご無沙汰しております。ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

月日の経つのは早いもので、ブログを休んでいたら第5回関西すうがく徒のつどいの講演募集時期となってしまいました。今回も微分幾何をネタに応募したので、ひょっとするとまた講演させていただけるかもしれません◎

その前に昨年の発表の解説を終わらせてしまわないと=3
ということで、また少しずつ進んでいきたいと思います。

さて、微分形式を使って曲面のGauss曲率を計算する、ということに挑戦しているのでした。
微分形式の計算規則については前回(かなり前ですが)までで一通り紹介しました。
今回からは曲面のお話に戻って、曲面の動標構というものを導入したいと思います。

曲面上の各点には、その点で曲面に接する接平面というものがあります。
曲面を



とパラメータ表示すると、接平面はpをu、vで偏微分して得られるベクトル



で張られます。

さて、この曲面上の各点での接平面ごとに正規直交基底



をとります。
各点ごとにてんでバラバラにとってしまっては役に立たないので、連続的にとることにします。

さらに3つ目のベクトル



を考えると、ベクトルの組



は3次元空間の正規直交基底になっています。このベクトルの組のことを動標構と呼びます。

以後、動標構をとるときは



の向きが



の向きと揃うようにとることとします。

言い換えると、の一次結合で書けるので、2×2行列Aを用いて



と書けますが、このとき



と仮定する、ということです。

さて、次回はこの「双対」を導入します!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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