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外積の外微分1(つどい微分幾何36)

こんにちは。ちょっと幾何学から離れ中!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回は微分形式の外微分について説明しました。
今日は、その前に説明した微分形式の掛け算(外積)の形に書かれている微分形式の外微分をやってみましょう!
積の微分もほとんど関数の微分と同じ公式が成り立つのですが、符号が異なるところが出てきます。

さて、復習しておくと、外微分はk-formを(k+1)-formに写す操作でした。
そして、今我々は2変数の微分形式を考えているので、3-form以上は0となり、外微分して0にならない可能性があるのは0-formか1-formだけでした。

つまり、外積をとって外微分して意味があるためには、外積の結果が0-formか1-formである必要があります。

一方、k-formとl-formの外積をとると(k+l)-formになるのでした。
したがって、外積の結果が0-formか1-formになるのは

○0-form掛ける0-form

○0-form掛ける1-form

○1-form掛ける0-form

のいずれかしかありません。

外積の外微分については、とりあえずこの3パターンのみ考えればO.K.ということです◎
では、早速みていきましょう!

○0-form掛ける0-formの外微分
0-formとは関数のことで、0-formどうしの外積というのは普通の掛け算のことでした。
なので、前回やった0-formの外微分の定義と普通の関数の積の微分公式より













と、普通の関数の積の微分と同じ公式が成り立ちます。

○0-form掛ける1-formの外微分
0-formと1-formの外積を外微分します。
1-form掛ける1-formの公式と、1-formの外微分の公式を思い出しておいていただくと、次のように計算できます。













となり、この場合も普通の積の微分と同じような公式が成り立ちます◎

最後の1つは次回にしましょう!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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