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微分形式の外微分(つどい微分幾何35)

こんにちは。Bourbaki大人買い!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回までで微分形式の掛け算を紹介したので、今回は微分形式の微分(外微分と言います)を紹介します。
外微分は、ベクトル解析などで出てくる、gradやrot、divなどに関係があります。
というか、一見、一緒ですw

何が違うかというと、座標変換したときの振舞いなどですが、その説明は省略します。

外微分は、微分形式の次数を1上げます。
つまり、0-formを外微分したら1-formになり、1-formを微分したら2-formになり、2-formを微分したら3-formに…という具合です。

昨日説明した通り、今は2-formまでしか考えられないので、2-formを外微分すると常に0になる、ということになります。
なので、0-formと1-formに対して外微分を定義すれば十分です◎

ではいきましょう!あ、ちなみに外微分するという意味の記号は"d"で表します。

○0-formの外微分
0-formとは関数のことでした。
これに対する外微分は



と定義します。
ここで、はそれぞれによるの偏微分です。

各係数を見ると、これはまさにgradの定義と同じですね。

○1-formの外微分
1-formとは、



の形に書けるもののことでした。

これの外微分は、係数の関数を外微分して、残りのと外積をとる、という風に定義します。

具体的には、













ということです。
最後に出てきた関数は、2変数関数のrotになっていますね!

さて、最後に外微分の重要な性質



を確かめておきましょう。

これはつまり、0-formを外微分して得られた1-formをもう一回外微分すると答えが0になる、ということです。

まず0-formを外微分して



ですね。
これをさらに外微分すると、上の計算結果より、



となりますね。
最後0になるのは、二階微分が微分する順番によらないからです。
(uで微分してからvで微分しても、vで微分してからuで微分しても答えは同じ)

さて、掛け算、微分とやりましたので、次回は「積の微分」をやりましょう!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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