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微分形式の掛け算2(つどい微分幾何34)

こんにちは。「微分形式の幾何学」に感動した!ringです◎
↓レビュー書いてみました。

微分形式の幾何学微分形式の幾何学
(2005/03/04)
森田 茂之

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ファイバーバンドルの「ねじれ具合」を表す特性類を、接続から決まる微分形式で表現する、Chern-Weil理論の解説を目的とした本。
全部で6章から成り、最後の6章でChern-Weil理論が論じられる。1章から5章まででじっくり準備した材料の意味が、6章でドラマチックに説明される。あそこで説明したあの定理は実はここではこういうことを意味しているのである!という感じでグイグイ引っ張られていくように読める(あえて具体的な名詞は伏せておきました。)
また、概念の説明は基本的に幾何学的で図も多く、幾何学をやっている、という感じを持てる。例えば5章のGauss-Bonnetの定理の証明のくだりでは、「ここでは厳密さを少し犠牲にして、直観的にわかりやすい証明をつけることにする。」といった具合。
内容は、1章が多様体の基礎、2章が微分形式の導入、3章がde Rhamの定理、4章が調和積分、5章がベクトルバンドル、6章がChern-Weil理論という構成。
おそらく他の本で多様体の勉強はしておいたほうがよいと思う。また、単体的ホモロジー論は既知とされている。


第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

さて、前回は0-formの関係する微分形式の掛け算を紹介するところまでやりました。
0-formは単なる関数ですから、何と言うか、常識的な掛け算でしたね。
今日は、ちょっと普通と違った掛け算が登場します。

ではいきましょう=3

○1-formと1-formの掛け算
1-formとは、



の形に書けるもののことでした。
ここで、という特別な1-formの掛け算については、





と約束します。
例えば2番目の式の左辺は、という2つの1-formを掛け算した結果、という2-formができた、と解釈してください。

つまり、1-formと1-formの掛け算の結果は2-formになります。

また、関数倍はすべて先頭にもってきてよいです。
式で書くと、



ということです。

そして、一般の場合はこのルールを使って普通の多項式の展開と同じように計算します。
具体的に書いてみますと、









ということになります◎

順番を入れ替えると…









となって、1-formと1-formの掛け算は順番を入れ替えると-1倍になることが確かめられます。

具体例をやってみますと、







と言った具合です。

○1-formと2-formの掛け算
これは、常に0になります。

○2-formと2-formの掛け算
これも、常に0になります。

以上で全ての組合せを考えたので、掛け算の紹介は終了です。

最後、少し拍子抜けだったのではないでしょうか。

これは、今は2変数の微分形式を考えているので、2-formより上(3-formなど)が存在しないためです。
一般に、k-formとl-formの掛け算は(k+l)-formになります。
例えば1-formと2-formの掛け算は3-formになるのですが、今は3-formはない(=0)ため、掛け算の結果は0にならざるをえない、ということです。

さて、今回で掛け算はO.K.となったので、次は微分形式の「微分」を紹介しましょう◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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