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微分形式の掛け算1(つどい微分幾何33)

こんにちは。少しでも「幾何学おもしろそう」と思ってもらいたい!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回は微分形式がどんな形のものかを紹介しました。
今日は、微分形式の掛け算である「外積」について説明します。

微分形式の掛け算で注意が必要なのは、掛け算の順番によって答えが違うことがある、ということです。
今の場合(2変数の場合)、1-formと1-formを掛け算するときのみ、答えが順番によって違います。

ただし、順番によって答えが違う場合でも全く違う答えになるという訳ではなくて、符号の分だけ、つまり-1倍ずれるということになります。

また、普通の数の掛け算とは違うので、「×」とか「・」という記号の代わりに「⋀」という記号を使います。
⋀は「ウェッジ」と読むのが一般的だと思います。

早速、掛け算のルールを紹介していきましょう◎

○0-formと0-formの掛け算
0-formとは関数のことでしたから、これは普通の掛け算のことです。
なので、結果も関数つまり0-formです。
掛け算の記号も省略することが多いです。
マジメに書いておくと、



となります。

○0-formと1-formの掛け算
1-formとは何かを思い出しておくと、



という形に書けるもののことでした。
1-formに0-formを掛けるということは、の係数にそれぞれ0-formを掛けることになります。

つまり、



あるいは順番を変えて



となります。

は関数ですから掛け算の順番は関係ないので



となり、この場合は掛け算の順番を変えても確かに同じ答えになります。

また、計算結果は1-formになっています。

○0-formと2-formの掛け算
2-formとは



という形に書けるもののことでした。
これと0-formの掛け算は、1-formのときと同様、の係数に0-formを掛けることになります。

つまり、



順番を変えて



という具合です。
結果が順番によらないことは明らかですね◎

計算結果は、明らかに2-formです。

意外に長くなったので、当たり前のことしか書いてませんが、今日はこれまでにします。
次回からが大事な部分です!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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