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微分形式お披露目(つどい微分幾何32)

こんにちは。viva la 特性類!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

今回から数回にわたって「微分形式」というものを紹介したいと思います。
微分形式とは何かということをきちんと定義しようと思うとそれだけでかなり時間がかかってしまいます。
一言で「交代共変テンソル場」と言うこともできますが、これでわかるのは知っている人だけでしょうw

なので、微分形式とは何者なのかということは措いておいて、習うより慣れよの精神で、微分形式の計算法則をひたすら説明したいと思います。
間違いなく計算できるようになれば、ある意味わかったと言ってもよいのではないかと僕は思ってます。

では、早速微分形式の世界に入っていきましょう◎

微分形式と言うのは、図形の上に住んでいる関数のようなものです。
私たちは今曲面という2次元の図形を考えているので、その上に住んでいる微分形式についても当然2変数のものを考えることになります。
変数はu、vを使うことにしましょう。

そして2変数の微分形式には、微分0形式(0-form)・微分1形式(1-form)・微分2形式(2-form)の3種類があります。
一般に、n変数の微分形式には、0-formからn-formまでの(n+1)種類があります。

以下でそれぞれを紹介しましょう。

○0-form
0-formとは単なる2変数の関数のことです。
つまり



の形に書けるもののことです。
例えば



などは全て0-formです。

○1-form
1-formとは、2つの関数



を使って



という形に書けるものです。
ここで



とは何ですか、という疑問が出てくると思いますが、とりあえず単なる記号だと思っておいてください◎
足し算については



という具合にそれぞれの係数同士で足し算します。
ベクトルみたいなものですね。

1-formの例として



などを挙げておきます。

○2-form
最後に2-formは、2変数関数を使って



という形に書けるもののことです。



についてはとりあえず単なる記号と思っておくことにします。
足し算は、



という風に自然に計算します。

2-formの例としては



といったものがあります。

今回は、顔見せまで◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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