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続ヘリコイドの主曲率・主方向(つどい微分幾何30)

こんにちは。幾何学に王道なし!というセリフが王道に感じる、ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回の記事ではヘリコイドの主方向を求めました。今日は、それらに対応する主方向を計算しましょう。
長くなるので、計算結果等のまとめは前回の記事をご参照ください◎

さて、ざっくり復習しておくと、曲面の法曲率の最大値・最小値(主曲率)とそれらを与える方向(主方向)を求める問題は、行列の固有値問題に帰着するのでした。
そして、ヘリコイドの場合その行列は



とおいて



であり、その固有値は±1/Aとなったのでした。

まずは固有値1/Aに対応する固有ベクトルを求めましょう。
それには方程式



の解であって、



であるものをみつければよい。
例えば



は1つの固有ベクトルですね。

さて、これは曲面の接ベクトルを基底としたときの座標に対応するものでしたから(コチラご参照)、これに対応する接ベクトルは



ということになります。
そしてこの接ベクトルの長さを計算するには、行列から定まる二次形式を計算すればよいのでした(コチラご参照)。

つまり、この接ベクトルの長さの二乗は



となります。

よって、主曲率1/Aに対応する主方向は、この接ベクトルを単位化した、



であることがわかりました。
この接ベクトルをと書くことにしましょう。

全く同様に、主曲率-1/Aに対応する主方向は



であることがわかります。
ここで



が直交する単位ベクトルであることに注意すると、これらの接ベクトルの位置関係が接平面(v方向に少し傾いてます)上で次のようになっていることがわかります。

helicoid2.jpg

最初の私の勘違いを確かめるために方向の法曲率を計算してみましょう。
法曲率の計算は行列から定まる二次形式を計算すればよいのでした(コチラご参照)。

よって方向の法曲率は



となります。(Mは第二基本量のMです)

方向がと変わっていくにつれ、法曲率の符号が+→0→-と変わっていくのですね◎

さて、このままだといつまでたってもつどいの解説が終わらないので、次からどうしましょうか…考えます!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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