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ヘリコイドの主曲率・主方向(つどい微分幾何29)

こんにちは。代数幾何を勉強してるときは周りのものが射影直線に、トポロジーをやってるときには周りのものがファイバーバンドルに見える、ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回は、ヘリコイドのGauss曲率・平均曲率を計算しました。
今日は、法曲率の最大値・最小値(主曲率)と、最大値・最小値をとる方向(主方向)を求めてみましょう◎

主曲率と主方向を求める問題は行列の固有値問題に帰着するのでした。
以前の記事をご参照ください。

というわけで、この行列を計算しましょう。

前回と前々回の計算結果を並べておくと、ヘリコイドのパラメータ表示は



で、第一基本量第二基本量













となるのでした。

さて、簡単のため



とおいて(前も言い訳しましたが、こうおかないと式が長くなって行列がうまくブログ上に表示できないのです…)上の行列を計算しましょう。

定義から





ですから、





となります。
固有値を求めるために固有方程式を解くと、



より、固有値つまり主曲率は±1/Aとなります。
Aを元の書き方に戻すと、主曲率は



の2つということがわかりました。
この2つを掛けると



となって、前回計算したGauss曲率と一致するので、計算間違いはしていなさそうですね◎

さて、行列を書くのはなかなか疲れるので、主方向は次回にしますw
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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