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ヘリコイドの曲率(つどい微分幾何28)

こんにちは。幾何学に入門して早や10年!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回の記事では、ヘリコイドの第一基本量を計算しました。
今日は、ヘリコイドの第二基本量Gauss曲率・平均曲率を計算しましょう◎

まず、ヘリコイドはパラメータ表示で



と書けるのでした。
次に前回の計算結果を復習しておくと、pの偏微分は





となり、第一基本量は







で、単位法ベクトルeは



となるのでした。

さて、第二基本量を求めるためにpの二階微分を計算すると







なので、第二基本量







と計算できます。

第一基本量と第二基本量が計算できたので、Gauss曲率Kと平均曲率Hが次のように求まります。





Gauss曲率が常に負なので、ヘリコイドもカテノイドと同じく曲面上のどの場所でも馬の鞍のような曲がり方をしていることがわかります。
さらに、rを無限に大きくすると(無限に遠くへ行くと)Gauss曲率は0に近づくことがわかります。

私は直感的に、ヘリコイドは半直線をグルグル回してできる曲面なので、Gauss曲率は0になるのかなぁと思っていました。(直線方向には法曲率0なので。)
なので、この計算結果は意外でした。

でもよく考えたら、Gauss曲率は法曲率の最大値と最小値の積で、それが負ということはどこかで法曲率が0になる方向があるということですよね。
ヘリコイドの場合はそれがわかりやすい方向だったというだけで、自分の直感の不適切さを反省しましたw

という訳で、次回は反省も兼ねて、ヘリコイドの主方向・主曲率も計算してみたいと思います◎

あ、平均曲率が0になってますから、ヘリコイドが極小曲面であるということも忘れずにチェックしておいてください!
ヘリコイドとカテノイドは極小性を保ったまま連続等長的に移りあうらしく、こんな動画をみつけました…すごい。
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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