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カテノイドの曲率(つどい微分幾何25)

こんにちは。みんなと幾何学のおもしろさをシェアしたい!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

昨日の記事ではカテノイドの第一基本量と単位法ベクトルeを計算しました。
今日は第二基本量Gauss曲率・平均曲率を計算しましょう◎

まず、カテノイドはパラメータ表示で



と書けるのでした。
次に昨日の計算結果を復習しておくと、pの偏微分は



となり、第一基本量は







で、単位ベクトルeは



となるのでした。

さて、第二基本量を求めるためにpの二階微分を計算すると







なので、第二基本量







と計算できます。

第一基本量と第二基本量が計算できたので、Gauss曲率Kと平均曲率Hが次のように求まります。





Gauss曲率が常に負なので、カテノイドは曲面上のどの場所でも馬の鞍のような曲がり方をしていることがわかります。
以前紹介した図からも納得ですね◎

また、平均曲率は最初に言っておいた通り0になり、カテノイドが極小曲面であることが計算で確かめられました。
こちらは、幾何学的な考察は難しいですね…。極小曲面の条件を説明しだすとつどいの講演の内容とは全く別の方向に行ってしまうので、別の場所で説明できるとよいのですが。

さて、次回は何をしようかな…。もう少し具体例やってみましょうか!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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