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カテノイドの第一基本量(つどい微分幾何24)

こんにちは。複素幾何に心を惹かれつつある、ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

昨日の記事では、逆双曲三角関数の微分の公式を求めました。
今日からは、これを使ってカテノイドのGauss曲率と平均曲率を計算します!

カテノイドがどんな曲面だったか復習しておきましょう。
カテノイドは、カテナリー(懸垂線)



をz軸の周りに回転させてできる曲面で、



とパラメータ表示できるのでした。(コチラの記事ご参照)

まずは第一基本量を計算しましょう。
r、vで偏微分して、



ですから、







となります。
次に、Gauss枠の3つ目の単位ベクトルeを計算しましょう。
まず



であり、



となるので、



となります。

ちょっと計算が長くなりそうなので、今日はここまでとして、第二基本量以降は次回計算しましょう◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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