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逆双曲三角関数の微分(つどい微分幾何23)

こんにちは。Born to math!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

昨日はカテノイド(懸垂面)という曲面のパラメータ表示を紹介しました。
このパラメータ表示の中に逆双曲三角関数が出てきたので、今日はこれの微分を求めておきます。

私は数学科でしたが、具体的な計算をサボっていた悪い人だったので、双曲三角関数の扱いは全く不慣れでした…
就職して、昼休みとか細切れの時間に具体的な数学をやるようになって、初めて双曲三角関数の公式たちを身に付けました。
これが結構おもしろいんですよね◎

まあそれはさておき、カテノイドのパラメータ表示は



でしたから、とりあえず必要なのは の微分です。

双曲三角関数の定義は、





でした。

これから直ちに、



がわかります。

を微分してこの式を使うと、



ですから、一変数の逆関数の微分の公式より、



となります。

ですから、これは要するに



ということになり、ほしかった逆双曲三角関数の微分公式が得られました◎

ちなみにこの公式を積分の形で書き直すと



となります。なかなか使えそうじゃないですか?意外に知らないというか…

さて、次回はこの公式を使ってカテノイドの計算を進めましょう!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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