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カテノイド(懸垂面)(つどい微分幾何22)

こんにちは。神は幾何学者らしい!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

昨日まででトーラスの曲がり方を調べるのは一段落しました。
今日は、カテノイド(懸垂面)という曲面を紹介します。

カテノイドの計算では逆双曲三角関数の微分も出てくるので、計算も楽しいです◎
名前から想像がついた方もみえると思いますが、カテノイドは、カテナリー(懸垂線)



をz軸の周りに回転させてできる曲面です。

ブログに絵を描けるといいのですが、私に技術がないので、曲面の形については次のリンクをご覧くださいw

http://www.f.waseda.jp/takezawa/math/geometry/surface3.htm

http://www.comp.tmu.ac.jp/tsakai/lectures/kl-11/sample_beamer.pdf

さて、曲面上の点に対してz軸からの距離をr、x軸からの回転角をvとすると、カテノイドは



とパラメータ表示できます。
どの程度参考になるかわかりませんが、上から見た図を載せておきます↓

catenoid1.jpg

以前も触れましたが、カテノイドは平均曲率が0になる、極小曲面という曲面の1つです。
極小という名前は、与えられた境界の形に対して面積が最小になる曲面である、というところからきています。
上の外部リンクの2つ目のpdf資料でシャボン玉の写真が写っているのは、これを実証しているのですね◎

さて、次回からはカテノイドのGauss曲率(と平均曲率)を計算していきたいと思います!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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