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続トーラスの主曲率・主方向(つどい微分幾何21)

こんにちは。幾何学は魂を真理へと導く!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

昨日の記事ではトーラスの主方向・主曲率を計算しました。今日は、その結果を吟味したいと思います◎

トーラスの主方向とそれに対応する主曲率を復習しておくと、主方向の1つは



で、それに対応する主曲率は



でした。もう1つの主方向は



で、これに対応する主曲率は



でした。
上の主方向の式で、は単位ベクトルなので絶対値で割って長さを1にする必要はありませんが、は一般に長さが1ではないので単位化しておきました。
の式についてはコチラをご参照ください◎

さて、1つ目の主方向(u方向)に対する主曲率は正の定数になっていてuによっていません。
これは、u方向(ドーナツに巻き付く方向)の曲線は円になっているのでどのuに対応する場所でも曲がり方が同じだということに対応しています。
下の断面図をご参照ください↓

torus5.jpg

一方、もう1つの主方向(v方向)に対する主曲率はuによって値が変わってきます。
以前の記事でやったように



の3つの場合を考えると、



のときは



となり、



のときは0で、



のときは



となります。
主曲率の符号については、曲面の曲がる向きと単位ベクトルeの向きとの対応関係を思い出して、下の図を見ていただければ納得がいくのではないでしょうか。(トーラスを上から見た図です。外側の円がで、内側の円がです。)

torus6.jpg

この例では2つの主方向は直交していました。
このことは一般に成り立ち、「2つの主曲率が異なるならば対応する主方向は直交する」ことが証明できます。
そんなに難しくないのですが、つどいの内容から脱線が激しくなるので、省略します。
興味のある方は証明をつけてみてください◎

トーラスにしばらく立ち止まっていましたが、次回からはいろいろな曲面のGauss曲率を計算していきたいと思います!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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