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トーラスの主曲率・主方向(つどい微分幾何20)

こんにちは。旅の疲れを幾何学で癒す、ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

前回の記事で、法曲率の最大・最小問題を考えることが行列の固有値問題を考えることと同じであるということを説明しました。

今回は、トーラスの場合に上の固有値問題を解いてみましょう◎

トーラスの第一・第二基本量は、








となるのでした。並べてみると、なかなか壮観ですね!

さて、簡単のため



とおいて(こうおかないと式が長くなって行列がうまくブログ上に表示できないのです…)上の行列を計算しましょう。

定義から





ですから、





となります。

対角行列の固有値は対角成分そのものですから、行列の固有値は



の2つであることがわかります。

さらに、固有値に対する固有ベクトルは



の定数倍となり、固有値に対する固有ベクトルは



の定数倍となります。

固有値の定義からすぐに確かめられますね◎
(ブログでは、行列の長い式が書けませんでしたw)

さてこれを曲率の言葉に翻訳すると、

「トーラスの主曲率はの2つであり、それぞれに対応する主方向は方向の単位ベクトルである。」

ということになります。

主方向について少しわかりにくかったのではないかと思うので、少し補足説明します。
今は、数ベクトル



と曲面の接ベクトル



とを対応させていましたから、固有ベクトル



に対応する接ベクトルは



となります。
我々は接ベクトルの長さが1という条件付きで最大・最小問題を考えていましたから、これらのベクトルを適当に定数倍して単位ベクトルにしたものが主方向になるというわけです。

ちょっと長くなってしまったので、結果の吟味と図を載せるのは次回にまわします◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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