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Gauss曲率からわかること(つどい微分幾何17)

こんにちは。フツーの高校生が微分幾何する世の中を目指す!ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

大事なことを忘れていました。

Gauss曲率の符号から、曲面の曲がり方についてどのようなことがわかるか、ということについて書いていませんでしたorz

という訳で、トーラスのGauss曲率について幾何学的に吟味するのは次回として、今日はGauss曲率の符号からわかることを簡単に書いておきます◎

まずは、Gauss曲率の定義を思い出してください。

それは、「曲面の法曲率の最大値と最小値の積」として定義されたのでした。

さらに、法曲率の定義を思い出してください。

それは、Gauss枠の単位法ベクトルeと同じ側に曲面が曲がっていると正、逆側に曲がっていると負の値をとるのでした。

なので、曲面がどの方向に対してもeと同じ(もしくは逆)側に曲がっているなら、法曲率の最大値も最小値も正(負)になるので、その積であるGauss曲率も正となります。
この場合、曲面がお椀型になっているということです。

一方、曲面がある方向に対してはeと同じ側に曲がっていて、別のある方向に対してはeと逆側に曲がっているという状況の場合は、法曲率の最大値は正、最小値は負となりますから、その積であるGauss曲率は負になります。
この場合、曲面が馬の鞍あるいは峠道のようになっているということです。

Gauss曲率が0の場合は、その中間です。
法曲率の最大値か最小値が0なので、曲面がある方向に対して曲がっていないことがわかり、また、他の方向についてはeと同じ側か逆側かどちらか一方にしか曲がっていないということがわかります。
(あるいは全く曲がっていないことも。これは平面ですね。)

本当に、一番大事なことを忘れていました…

以上を踏まえて次回から幾何学的に具体例を吟味していきましょう◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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