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トーラスのGauss曲率(つどい微分幾何16)

こんにちは。今日は代数幾何の本眺めてました、ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

昨日の記事でトーラスのパラメータ表示を紹介したので、今日はこれを使ってトーラスのGauss曲率を計算します!

トーラスのパラメータ表示は



で与えられるのでした。
これを使ってpのu、vによる偏微分を計算すると





となります。
これから第一基本量E、F、Gを計算すると







がわかります。
次にGauss枠の単位法ベクトルeを計算します。



なので、これを長さ1にして
(つまりで割って)



がわかります。
eがこのベクトルになることは、図を描けばわかりやすいですね(球面のときと同じです)↓

torus3.jpg



さて、pのu、vによる二階の偏微分を計算すると







となります。
これから第二基本量を計算すると、







が得られます。

以上からGauss曲率と平均曲率を計算すると





となります!

今日は計算だけとして、次回はこの計算結果を幾何学的に吟味したいと思います◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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