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球面のGauss曲率(つどい微分幾何14)

こんにちは。「環」は"ring"の誤訳らしい!たまには幾何学ではなく代数ネタの、ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

昨日の記事では、Gauss曲率と平均曲率を、第一・第二基本量で表す公式を導きました。
今日からは具体例の計算をしていきます。まずは、球面のGauss曲率を計算しようと思います。

以前の記事で、球面のパラメータ表示と第一基本量は求めてありました。
復習すると、半径rの球面は、uを緯度、vを経度として



とパラメータ表示でき、その第一基本量は





となるのでした。

第二基本量も別の記事で計算していて、





となるのでした。

これだけの情報があればGauss曲率Kと平均曲率Hが計算できて、それぞれ




となります。

この結果から、いくつか幾何学的な考察をしてみましょう。

まず、Gauss曲率も平均曲率もu、vの関数ではなく定数になっていることがわかります。
これは、球面がどの点でも同じような曲がり方をしていることから納得できます。

次に、法曲率の最大値・最小値がともに



であることがわかります。

最大値=最小値なので、結局、どの方向を向いても法曲率は同じく1/rということになります。
これは、球面上のある点において、どの方向に対しても球面が同じ曲がり方をしているということを意味しています。
(このようにどの方向にも同じ曲がり方をしている点を臍点と言います。球面は、全ての点が臍点になっているということです。)

また、Gauss曲率の符号は常に正の値となっています。これは、球面の曲がり方が「お椀型」になっていることに対応しています。

では、Gauss曲率の符号が0や負になる場合はどうなるのか?
これは、次回以降の例で紹介していこうと思います◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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