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Gauss曲率の表示(つどい微分幾何13)

こんにちは。幾何学力⊂人間力?ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

一昨日の記事で定式化した法曲率の条件付き極値問題に、昨日の記事で紹介したLagrangeの未定乗数法を適用してみましょう!

最初に断っておきたいのですが、正確には極値問題を解きません。
「え」と思われるかもしれませんが、最大値・最小値は求めません。
Gauss曲率(resp.平均曲率)は、法曲率の最大値と最小値の積(resp.平均)なので、それさえわかればよい、ということです。
最低限の計算しかしないので、興味のある方はいろいろ計算してみてください◎

さて、我々が考えている条件付き極値問題の束縛条件は次の式でした。



これをLagrangeの未定乗数法に当てはまる形にすると、



ですね。つまり



とおきます。

昨日は変数をx、yでやりましたが、今日は変数をa、bと書いてます。(今までの流れ上…)

g(a,b)の偏微分を計算すると、





となります。

まとめて書くと、



となります。ここで、



はそれぞれgのa、bによる偏微分です。

さて、最大・最小を調べたかった







とおいて同様に偏微分すると、





となり、まとめると



となります。念のためですが、ここで



はそれぞれfのa、bによる偏微分です。

Lagrange未定乗数法に従って、



とおきます。

Lagrange未定乗数法の定理によると、極値をとる点では



が成り立つので、



となるはずです。

ここで



に注意すると、



つまり



が成り立ちます。
の理由も考えてみてください。また、Iは単位行列です。)

これはλに関する二次方程式なので2つの解を持ち、それぞれ法曲率が最大・最小の場合に対応した値となります。

が、何と、その解が法曲率の最大値・最小値そのものになっています!

というのも、



が成り立っているならば、



となってしまうからです。(最後の等号は束縛条件I(a,b)=1を使ってます。)

というわけで、上のλに関する二次方程式の解(法曲率の最大値・最小値)を



とおくと、解と係数の関係から、Gauss曲率



と、平均曲率



はそれぞれ、





と書けることがわかりました!!

長い計算でしたが、楽しんでいただけたのではないでしょうか?
つどいでの講演の第1章はここまでです。

かなり一般論が続いたので、次回からは具体例の計算をたくさんやりながら、Gauss曲率の幾何学的な意味に親しんでいけたらいいかなー、と考えています◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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