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最大・最小問題の準備(つどい微分幾何11)

こんにちは。幾何学に横断歩道なし、オヤジギャグが口をついて出る年頃のringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

昨日の記事では、曲面上のある点でのGauss曲率を、あらゆる方向を考えたときの法曲率の最大値と最小値の積として定義しました。

これからこの極値問題を解いていくのですが、今日はそのための記号をいくつか準備しておこうと思います。

復習になりますが、接ベクトル



の長さの二乗は、第一基本量E、F、Gを使って



と書けるのでした。(コチラをご参照)

そこで、第一基本量を並べた行列



を考え、



と書くことにします。
これは接ベクトルξの長さの二乗を表しています。

同様に、第二基本量を並べた行列



を考え、



と書くことにします。
これは曲面のξ方向への法曲率を表しています。

昨日の記事で説明したように、接ベクトルの長さは1として法曲率の最大・最小問題を考えるので、今から考える問題を定式化すると、



という条件の下で



の最大・最小を求める、という条件付き極値問題だということになります。

条件付き極値問題と言えば、Lagrangeの未定乗数法!というわけで、次回はこいつの説明です◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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