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Gauss曲率の定義(つどい微分幾何10)

こんにちは。スタバで幾何学が至福のひととき、ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

さて、昨日の記事まででわかったことは次のようなことです。

「曲面上のある点で、ある方向(=接ベクトル)を指定すると、その方向への曲面の曲がり具合(=法曲率)が第二基本量を使って計算できる。」

それでは次に何を考えるかと言うと、

「どの方向に曲面が一番曲がっているか?」

という問題です。

つまり、接ベクトルを動かしたときの法曲率の最大・最小問題を考えます。

ここで1つ注意しておきたいのは、接ベクトルの長さを長くすれば長くするほど法曲率も大きくなる、ということです。
式で書くと、接ベクトル



に対する法曲率は



ですが、この接ベクトルをC倍した



に対する法曲率は



となってしまい、いくらでも大きくできてしまうということです。

なので、法曲率の最大・最小問題を考えるにあたって、とりあえず接ベクトルの長さは1としておきましょう。
そうすれば、接ベクトルの長さの影響は排除して、方向の影響だけを調べられます◎

さて、ぐるりと一周見渡せば、かならず最大値と最小値がみつかります。
これは直感的には明らかと思いますが、数学的に言うと、「コンパクト集合上の連続関数は最大値と最小値を持つ」ということからわかります。

この法曲率の最大値と最小値の積のことをGauss曲率と定義します。
追い追い説明しますが、曲面の曲がり具合を端的に表す量となっています。

ちなみに、最大値と最小値の平均のことを、「平均曲率」と言います。
平均曲率が0になる曲面は、「極小曲面」と呼ばれ、とてもおもしろいのですが、今回は立ち寄りません。
(極小、という名前は境界を固定したときに面積が最小になる曲面が極小曲面になるというところからきています。針金の枠を固定したときにシャボン玉の張る曲面は、表面張力によって極小曲面となるそうです。)

次回からは、この最大・最小問題を考えていきたいと思います。行列を使うと、意外に綺麗に書けるんです◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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