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法曲率の計算(つどい微分幾何9)

こんにちは。今日は幾何学的な形にカットされた石からできた数珠(?)を買ってしまったringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

昨日の記事では、曲面上の曲線の法曲率について説明しました。

今日は、法曲率が第二基本量L、M、Nを使ってどう書けるかを計算したいと思います。

まず法曲率の定義を復習しておくと、曲率ベクトルを



と、測地的曲率ベクトルと法曲率ベクトルの足し算の形に書き、



により、法曲率 を定義したのでした。(ベクトルeの定義はコチラ

ベクトルeは単位ベクトル、つまり長さが1ですから、上の式の両辺とeの内積をとって



となります。
また、ベクトルeは接平面に直交するようにとりましたから、測地的曲率ベクトルとは直交する、つまり



となります。
以上より、



が成り立ちます。

さて、曲線上の曲線は昨日の記事で書いたように



とパラメータ表示できるので、これを使って曲率ベクトルを計算します。

まず、一階微分(速度ベクトル)は簡単で、



ですね。合成関数の微分です。

次に二階微分(加速度ベクトル=曲率ベクトル)は少し面倒で、合成関数の微分を2重に使って、





となります。

一方、ベクトルeは接平面に直交しているので



が成り立っています。
なので、上の式の両辺とeの内積をとると、法曲率は第二基本量を用いて



と書けることになります。(第二基本量の定義を思い出してください。)

重要なことは、上の式が、曲線そのものではなく、曲線の速度ベクトルのみによっているというところです。
つまり、



だけから法曲率が計算できる、ということです。

この事実を使って、接ベクトル



に対して、その方向への曲面の法曲率を、ξを速度ベクトルとして持つような曲面上の曲線、つまり



となるような曲線の法曲率として定義します。
すなわち、



を、曲面のξ方向への法曲率と定義します。

長い計算になりましたが結論は簡単で、繰り返しますと、
「曲面の接ベクトル



方向への曲面の法曲率は



である。」以上。

さて、次回からはいよいよGauss曲率に入っていきたいと思いますー◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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