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曲面上の曲線の法曲率(つどい微分幾何8)

こんにちは。昨日はパズルのイベントに参加して、パズルと幾何学の関係について想像を巡らせているringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

昨日の記事では、空間曲線の曲率について説明しました。これは、曲面とは無関係な一般の空間曲線についてのお話でした。

今日は、曲面の上に乗っている曲線の「法曲率」について説明します。
これは、曲面の上に乗っている曲線がどれくらい曲面の接平面から離れていくかを表す量です。
法曲率を使って、曲面がある方向にどれくらい曲がっているかを調べるのです。

まずは曲面の上に乗っている曲線をパラメータ表示します。
曲線が曲面の上に乗っているので、それは曲面のパラメータ表示を通してパラメータ表示できます。
日本語がややこしくてすみません。数式で書くと、



と書ける、ということです。
ここで、p(u,v)は曲面のパラメータ表示で、sは弧長パラメータとしています。

この曲線の曲率ベクトルは、昨日説明したように



で与えられます。

このベクトルは曲面に接しているとは限りません。
私たちは、この曲線が曲面の接平面からどれくらい離れていくか、ということを使って曲面の曲がり方を調べたいのでした。
そこでこのベクトルを、曲面に接している成分と、曲面に直交している成分に分解することとします。
そうすれば、曲面に直交している成分が、曲線が接平面からどれくらい離れていくかを表していると考えられます。

式を使って説明すると、



と足し算の形に書くということです。
ここで、



は曲面に接している成分(測地的曲率ベクトルと言う)、



は曲面に直交している成分(法曲率ベクトルと言う)です。

法曲率ベクトルは、Gauss枠の3つ目のベクトルeの何倍かになっています。

つまり、



と書けますが、この



のことを法曲率と言います。

空間曲線の曲率は曲率ベクトルの絶対値だったので必ず正の値でしたが、法曲率は、曲線がeと同じ向きに曲がっていたら正、eと逆向きに曲がっていたら負、というように符号が関係してきます。

計算は、次回に回したいと思います。

曲率ベクトルの、測地的曲率ベクトルと法曲率ベクトルへの分解がわかりにくかったかもしれません。
具体例としては、球面上で、緯度が一定の小円を考えてみてください。
この小円の空間曲線としての曲率ベクトルは、地軸を向いた水平なベクトルです。

しかし、これは球面に接していません。

法曲率ベクトルは球の中心を向いたベクトルで、測地的曲率ベクトルは球に接するようにとることになります。

絵が描けると説明が早いのですが…
是非絵を描いて考えてみてください◎

ではまた次回!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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