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第二基本量の定義(つどい微分幾何5)

こんにちは。出勤前の30分に幾何学するのが日課のringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

講演では省略した計算も、ブログに書いていきたいと思っています。

さて、昨日の記事ではGauss枠とは何かについて説明しました。
今日は、「第二基本量」L、M、Nについて説明したいと思います。

早速定義を書いてしまうと、





となります。
ここで、例えば



というのは、pをuで偏微分してから次にvで偏微分したベクトルのことで、掛け算はベクトルの内積です。
eは、昨日説明したGauss枠の3番目のベクトルですね。

大体pの偏微分は順序によらないので



となり、Mの定義式だけ2つになってます。

球面



の場合に計算してみてください。答えは、





となる筈です!

つどいでは上の定義を紹介しただけでしたが、第二基本量には別の書き方もあります。
具体的には、





と書けます。
ここで、



はそれぞれeをu、vで偏微分したベクトルです。

この式は、eが接平面に直交しているということから導けます。
Lの場合を例にとると、eが接平面に直交しているので特に



が成り立っていて、これをuで偏微分すると積の微分より



となるので、上の表示が導かれます。
M、Nについても同様です◎

第二基本量を具体的に計算するときは最初の式が計算しやすいと思いますが、GaussによるオリジナルのGauss曲率の定義(こちらの記事ご参照)に合わせに行こうとすると、2番目の表示が必要です。

さて、次回からは第二基本量の幾何学的意味について説明したいと思います!
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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