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Gauss枠(つどい微分幾何4)

こんにちは。旅先でも幾何学やってました、ringです◎
数日ぶりの更新です。

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

講演では省略した計算も、ブログに書いていきたいと思っています。

さて、前回の記事まででとりあえず第一基本量は終わりとして、今日からは「第二基本量」の説明に入ろうと思います。

ただ、その前に準備として「Gauss枠(Gaussian frame)」というものを導入しておく必要があるので、今日はその説明をします。

以前の記事で、曲面とは



という形でパラメータ表示できるもので、pをu、vで偏微分して得られるベクトル



が一次独立となっているものと定義しました。



は、一次独立な接ベクトルなので、曲面の各点での接平面の基底となっています。
この2つのベクトルに加えて、接平面に直交する単位ベクトルeをとり、3つ組



のことをGauss枠と呼びます。
Gauss枠は、3次元ユークリッド空間の基底となっています。

eの取り方は、どちら向きの単位ベクトルをとるかで2通りの可能性があるのですが、



が右手系となるようにとることとします。
式で書くと、



ということですね◎

枠(frame)という言葉に馴染みがないかと思いますが、これは要するに基底のことです。
ただし、今考えている基底は、曲面上の関数になっているのです。
パラメータを省略せずに書くと、



ですからね。
要するに、図形の各点において基底を与えるようなベクトル場のセットのことを、枠と言います。

球面



の場合だと、



となるので、確かめてみてください。

計算するのもよいですが、図形的に考えれば一発ですよ!(私の技量不足で記事に絵が載せられませんw)

次回は、第二基本量の定義を説明したいと思います◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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