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第一基本量の意味(つどい微分幾何3)

こんにちは。自称幾何学者、ringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しているところです。
発表資料はコチラです。

講演では省略した計算も、ブログに書いていきたいと思っています。

昨日の記事では第一基本量の定義を説明しました。
今日は、第一基本量を使って接ベクトルの長さが計算できることを説明します。

軽く昨日の復習をしますと、曲面とは



という形でパラメータ表示できるもので、pをu、vで偏微分して得られるベクトル



が一次独立となっているもの、としたのでした。



は接平面の基底となっていますから、任意の接ベクトルξは、



という形に書けます。

ξの長さの二乗を求めるには、自分自身と内積をとればよく、



なので、右辺を展開して、



ですが、ここで第一基本量の定義を思い出すと、



ですね。これで、第一基本量を用いて接ベクトルの長さが書けました。

行列の形で書くと、



となります。

講演では、



とおきました。

この行列があれば、接平面の基底



に関する座標から、接ベクトルの長さが計算できるということです。

今日はここまでにして、次回は第二基本形式の説明をしようと思います。

明日から旅に出るので、次の更新は数日後ですね◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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