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第一基本量の定義(つどい微分幾何2)

こんにちは。幾何学大好きringです◎

第4回関西すうがく徒のつどいで「曲面の微分幾何学」というテーマで講演させていただきましたが、その内容について、少しずつ解説しています。
発表資料はコチラです。

昨日の記事ではGauss曲率とはどういうものかについてざっくり説明しました。
これからはもう少し詳しく、計算も交えて説明していこうと思います。

今日はまず、曲面の第一基本量について説明します。

その前に「曲面とは何か」という話があるのですが、これは深入りすると話がややこしくなるので、球面とか平面のように、数字を2個指定すれば位置が決まるような図形、つまり自由度が2の図形だとしましょう。

そして、曲面は3次元空間の中に入っているとします。別に4次元空間とか5次元空間の中の曲面を考えてもいいのですが、直観的によくわからないので、3次元空間の中に入っているとします。

数学的に書くと、



という形でパラメータ表示できるものを曲面と言うことにします。

例えば、uを緯度、vを経度とすると、半径rの球面は、



とパラメータ表示できます。確かめてみてください。

あ、あと大事なことを忘れていましたが、pをu、vで偏微分して得られるベクトル



は一次独立とします。
この2つのベクトルは曲面上のu軸、v軸方向への接ベクトルになっています。

もしこの2つが一次独立でなかったら、曲面が二次元的に広がってなくて、線みたいになってしまっているということになります…。

さて、話を第一基本量に戻します。
第一基本量というのは、曲面の接ベクトルの長さに関係のある量です。曲面上に曲線が与えられたとき、その曲線の接ベクトルの長さを積分すれば曲線の長さが計算できますから、曲面上の曲線の長さを与える量と言ってもよいでしょう。
これを一般化したものが、噂に名高いRiemann計量というものです。ちなみに、昨日も書きましたが、第一基本量は曲面に内在的な量です。これ大事。

第一基本量E、F、Gの定義は次の通りです。ちなみに掛け算は、ベクトルの内積です。





球面の場合に計算してみてください。答えは、





となる筈です!

第一基本量が接ベクトルの長さとどう関係するかは、また次回にしたいと思います◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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