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Poincaré上半平面の測地線の力学的解釈

フランス語キーボードでアクサンの位置が覚えられない!ringです◎
Poincaréって何回も打つので覚えそうなものですがw

昨日は擬球について書きました。擬球はいたるところ曲率が-1の曲面で、追跡線(トラクトリックス)の回転面なのでした。
この追跡線がおもしろい性質を持つのでそれを書こうと思っていたのですが、それはちょっと後回しにしてw

今日はPoincaré上半平面の測地線がx軸に垂直な半直線とx軸上に中心を持つ半円になることについて、力学的に考えるとどうなるかを書いてみます。
このネタは、日曜の講演の後の飲み会で話題になったものです。

資料はこちらをご参照ください。

復習しておくと、Poincaré上半平面とは、上半平面
\[H=\{(x,y)\in \mathrm{R}^2|y>0\}\]
に計量
\[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}\]
を入れたものでした。

これは要するに
\[g_{11}=g_{22}=\frac{1}{y^2}\]
ということで、
\[g^{11}=g^{22}=y^2\]
となり、$g_{ij}$の偏微分で生きてくるのは
\[\partial _2g_{11}=\partial _2g_{22}=-\frac{2}{y^3}\]
だけなので、Christoffel記号は
\begin{align*}
\Gamma ^2_{11}&=\frac{1}{y}\\
\Gamma ^1_{12}&=\Gamma ^1_{21}=-\frac{1}{y}\\
\Gamma ^2_{22}&=-\frac{1}{y}
\end{align*}
以外は0となって、測地線の方程式は
\begin{align*}
\ddot{x}-\frac{2\dot{x}\dot{y}}{y}=0\\
\ddot{y}+\frac{\dot{x}^2}{y}-\frac{\dot{y}^2}{y}=0
\end{align*}
となります。

さて、これをNewtonの運動方程式だと思って書き直すと、
\[\frac{d^2}{dt^2}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\frac{1}{y}\begin{bmatrix}2\dot{x}\dot{y}\\-\dot{x}^2+\dot{y}^2\end{bmatrix}\]
より、
\[F=\frac{1}{y}\begin{bmatrix}2\dot{x}\dot{y}\\-\dot{x}^2+\dot{y}^2\end{bmatrix}\]
という力が働いていることになります。

$x,y$の微分が入っているので明らかに保存力でない空気抵抗とか摩擦みたいな力が働いていることになりますが、物理的な解釈は難しそうです。
どなたかもし物理的な意味を見出されたらお教えください◎

とりあえずここではそういう力が働くものとして軌道をいくつか考えてみます。

まず、$x$軸に垂直に運動している場合。
このときは$\dot{x}=0$なので$y$軸方向に正の力が働くことがわかります。
$x$軸方向には力が働かないので$x$軸に垂直に運動し続けます。
さらに、$y$座標が小さければ小さいほど力が大きい。
なので下向きに運動していっても$x$軸には辿り着けない。
でも絶妙なバランスで、跳ね返される(どこかで上向きに向きを変える)ということもない。
いつまでも減速しながら$x$軸に限りなく近づいていくことになります。

次に、$\dot{y}=0$の場合。
軌道が一瞬$x$軸に平行になった、というところですが、$y$軸の負の方向に力が働くために下に曲がってしまいます。
あとはさっきと一緒で、半円を描きながら$x$軸に向けて無限に「落下」していきます。

あまり物理的にしっくりくるものではないですが上のようなことを考えました。
測地線の形について、長さの観点から自然な説明ができるといいのですが…
ご存知の方が見えたらぜひお教えください◎
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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