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今年のクリスマスはエキゾチック球面を作ろう(Math Advent Calender18日目)

こんにちは。そろそろ婚活しないとまずい?32歳独身リングです◎

この記事はMath Advent Calender2015の記事として書いています。
前の記事はmassa142さんの2015年センター試験数学ⅡBをPythonで解くです。

今年もこの時期がやってきました。
そう、クリスマスですね!

独り身でこの浮かれた祝日をどう過ごせばいいのか。
学生時代は補講があり、社会人になってすぐは某試験があった。
今にして思えばあれは優しさだったorz

せめて家でおいしい料理でも作れたらいいなと思ったのですが、私は料理が苦手で、家庭科で赤点をとること数知れず。
どーしたものか…と頭を抱えてコンマ数秒、いいアイデアを思いつきました☆彡

「そうだ、エキゾチック球面を作ろう!」

というわけで、今年のクリスマスはデートも料理もあきらめ、エキゾチック球面を作ることにしました(^o^)

まずは「エキゾチック球面てなに?」という素朴な疑問にお答えしましょう。
エキゾチック球面とは、通常の球面とは異なる微分構造を持つ球面のことです。
微分構造については前振り的に書いたこちらの記事をご参照。

以下にレシピを書きますので、この記事を読んでいるアナタも、もし仮に万が一私と同じ境遇でしたら、是非挑戦してみてください◎

-エキゾチック球面のレシピ[M]-

〇材料(1つ分)
・4次元球面$S^4$ 1つ (底空間用)
・3次元球面$S^3$ 無限個($2^{\aleph _0}$個) (ファイバー用)

〇手順
1.まずは、用意した4次元球面$S^4$を赤道で2つに切ります。
できた2つの半球を$D^4_+$、$D^4_-$と書くことにします。
それぞれの境界(もとの球面の赤道)は3次元球面$S^3$と同相になりますが、これはどちらにも含めておいてください。

2.ファイバー用の$S^3$を、$D^4_+$、$D^4_-$それぞれの上に綺麗に並べます。
クリスマスに親子で行うのにぴったりの作業ですね!
(賽の河原で…と書きたかったが自粛した)
2つの直積$D^4_+\times S^3$、$D^4_-\times S^3$ができるまで根気よく作業しましょう。

3.次に、できた2つの直積$D^4_+\times S^3$、$D^4_-\times S^3$を貼り合わせます。
貼り合わせるのは、$D^4_+$、$D^4_-$の境界上のファイバーどうしだけです。
しかも、同じ点の上のファイバーどうしを貼り合わせます。
なので、貼り合わせてできるファイバーバンドルの底空間はもとの4次元球面$S^4$に戻ります。

具体的な貼り合わせ方は、以下の通りです。
まず、ファイバー$S^3$の変換群として$SO(4)$をとりましょう。
$S^3$を$\mathbb{R}^4$の中に入れて考えたときに、向きを保つ回転全体ですね。

次に、$S^4$の赤道$S^3$上の各点に$SO(4)$の元を対応させる連続関数$f$をとります。
この$f$を使って、$D^4_+$、$D^4_-$の境界上のファイバーたちに
\[(x,y)\sim (x,f(x)y),\quad (x,y)\in S^3\times S^3\]
という同値関係を入れて貼り合わせてください。

ここで、正確には$(x,y)\in \partial D^4_+\times S^3$、$(x,f(x)y)\in \partial D^4_-\times S^3$で、$x$は赤道上の点、$y$はファイバー上の点ということになります。
同値関係の両辺ともに第1成分が$x$なので、赤道上の同じ点の上のファイバーどうしだけを貼り合わせることになります。

4.最後に、$f$をどう取るかについて説明しましょう。
まず、貼り合わせの結果できる図形(ファイバーバンドルの同型類)は$f$のホモトピー類にしかよりません。
つまり、ホモトピー群の元$[f]\in \pi _3(SO(4))$のみによってできあがるファイバーバンドルが決まります。

次に、実は$\pi _3(SO(4))$は$\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$と同型です。
しかもこの同型は、四元数を使って書けます。
具体的には、$S^3$の元$u,v$を長さが1の四元数だと思って、$(h,j)\in \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$に対して次の式で定まる写像$f_{h,j}$のホモトピー類が対応します。
\[f_{h,j}(u)v=u^hvu^j \]
ここで、$u$は赤道の$S^3$に、$v$はファイバーの$S^3$に入っているというイメージです。

さて、ここまで来たら完成はあと一歩!
$k$を、$k^2$を7で割った余りが1でないような奇数とします。
$h,j$を、次の方程式で定まる整数とします。
\[h+j=1,\quad h-j=k\]
上の写像$f_{h,j}$を使って3.の貼り付けを実行します。
すると出来上がったファイバーバンドルの全空間は、7次元球面と同相ですが通常の7次元球面と微分同相ではありません!


-エキゾチック球面の味わい方-

無事にエキゾチック球面は完成したでしょうか。え、できた?おめでとうございます(^^)
せっかく作ったんですから眺めているだけではもったいない、じっくり味わいたいところです◎

とは言え、3次元空間内に幾何学的実現されていないものを食べることはできないですね。
世の中には食べられるζ関数なんてものもあるようですが、食べられるエキゾチック球面というのは多分作れない。残念。

そこで、いま作った球面の微分構造が通常の微分構造とは異なることを理解して、エキゾチック球面を味わいたいと思います。
概要だけでも、有名な定理や概念がいくつも出てきて華やかです◎

まずは、球面と同相かどうかを判定するのにMorse理論(と言っていいのかよくわからない)を使います。
具体的には、その上に2つの退化しない臨界点のみをもつMorse関数が存在するような閉多様体は球面と同相であることを主張する、Reebの定理です。
上で作った図形の上にはそのような関数が構成でき、従って7次元球面と同相であることがわかります。

次に、微分同相でないことを示すのに使う不変量を作ります。
これは、3次と4次のコホモロジー群が消えているという条件を満たす向きづけられた7次元閉多様体に対して定義される量です。
特に、7次元球面と同相な多様体は明らかにこの条件を満たしています。

向きづけられた7次元閉多様体は全てある8次元多様体の境界になる、というThomのコボルディズムの結果を使って、与えられた向きづけられた7次元閉多様体$M^7$を境界として持つ8次元多様体を1つとり、その符号数とPontrjagin類とを使って$\lambda (M^7)$という数を定義します。

これは8次元多様体の取り方によらず、また7を法として定まることが、Hirzebruchの符号数定理より従います。
つまり、3次と4次のコホモロジー群が消えている向きづけられた7次元閉多様体$M^7$の$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$に値をとる不変量$\lambda (M^7)$が定義できます。
この値が異なる2つの多様体は微分同相ではない、ということになります。

最後に上で作った図形と通常の球面それぞれについて$\lambda (M^7)$を計算すると、それぞれ$k^2-1$,$0$となることがわかります(両方$\rm{mod}$ $7$で考えてます)。
したがって、上でとったように$k$を$k^2$が7で割って1余らないようにとってておけば、できた図形は、通常の7次元球面と同相だけど微分同相ではない、という結論になります。

いかがでしょうか。
エキゾチック球面、夢がありますよね!
さすがにブログで細かいことは書けないし、実は私もきちんと理解できていませんw
オリジナルの論文へのリンクを貼っておきますので、興味を持たれた方は是非読んでみてください!
この論文が発表されたときは各方面にかなりの衝撃を与えたようです。
ページ数が7ページというのは、たまたまかな。

それでは、みなさんよいクリスマスを◎

-参考文献-
[M]J. W. Milnor, On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, Ann, ofMath., 64(2); 399-405.
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テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

Stokesの定理をやったら次はde Rhamの定理でしょ

これはMath Advent Calender 2015の記事です。

de Rhamの定理という、私の好きな幾何の定理についてとてもアバウトに書きます。
微積分のStokesの定理をやったら、ここまで勉強しないと絶対もったいないと思います。

志村五郎先生は著書[志]の中で
「de Rhamの理論(中略)は幾何学において基本的であって、その教育上の、あるいは学習上の、重要性はGauss-Bonnetの定理をはるかに上回る」
「Gauss-Bonnet(中略)の公式は忘れてもかまわないが、de Rhamの定理は忘れてはならないのである」
とおっしゃっています。

さてde Rhamの理論とは、図形の上の微分形式からその図形の穴のあき方がわかるというものです。
微分形式?穴のあき方?

具体的にざっくり説明しましょう。
$x$-$y$平面上の単位円$S^1$を考えます。
$x$軸の正の部分から反時計回りに角度を測って座標$\theta $がとれます。
きちんと書くと、単位円から$(1,0)$を除いた図形の上の関数$\theta :S^1\setminus \{(1,0)\}\rightarrow (0,2\pi )$が定まります。

図形の上の関数のことを「0次微分形式」と言います。
ただし、この$\theta $は$(1,0)$でうまくつながらず$S^1$全体で定義されていないので、残念ながら0次微分形式にはなっていません。

ところがこの関数を「微分」することはできて、1次微分形式$d\theta $というものができます。
これは$S^1$全体で定義されるのです。
この微分を外微分と呼びます。

ちなみに、一般に$k$次微分形式を外微分すると$(k+1)$次微分形式ができます。
そこで$d\theta $をもう1回外微分して2次微分形式を作ろうとするとこれは0になってしまいます。
なぜなら、外微分は2回連続してやると0になるという仕組みになっているからです($dd=0$)。

以上で$d\theta $の満たす性質がある程度わかりました。
〇1次微分形式$d\theta $は、0次微分形式の外微分として書くことはできない。
〇1次微分形式$d\theta $は、外微分すると0になる。
さらに、上の性質を満たす1次微分形式は本質的には$d\theta $しかないということもわかります。

これが、単位円$S^1$には1次元の穴が1つあいているということを示しているのです。
なぜか?

まず、穴のあいていない図形の上の1次微分形式は必ず0次微分形式の外微分として書けることを主張する、Poincaréの補題というものがあるからです。
これは簡単な微分方程式の問題でして、0次微分形式の外微分が与えられた1次微分形式になる($df=\omega $)という微分方程式の可積分条件が、与えられた1次微分形式の外微分が0になる($d\omega =0$)ということだということです。

ということは、外微分しても0になるにもかかわらず0次微分形式の外微分として表せない1次微分形式があるような図形には穴があいている、ということになります(対偶ですね◎)。
そして、そのような1次微分形式が本質的に1つだけということが、穴が1つあいているということに対応します。
なお、「1次元の穴」と書いたのは議論を0次微分形式と1次微分形式で行ったからです。
同様のことを$(k-1)$次微分形式と$k$次微分形式でやれば、$k$次元の穴の数がわかるということです。

$k$次微分形式の元のうち外微分して0になるもの全体を、$k$次微分形式の元のうち$(k-1)$次微分形式の外微分として表せるもの全体で割ってできる商ベクトル空間を$k$次のde Rhamコホモロジー群といいます。
このベクトル空間のランクが$M$に$k$次元の穴がどれだけあいているかを測る指標となります。
すばらしい。

とは言え、若干間接的なことをやっている印象もぬぐえませんね。
直接図形の穴の数を数える方法はないかというとそれはありまして、特異ホモロジーというものです。
これを説明しましょう。
以下では多様体というキレイ目な図形(曲線とか曲面とか滑らかで次元が一定な図形)を考えることにします。

$k$単体という言葉を用意します。
0単体とは点のこと。
1単体とは線分のこと。
2単体とは三角形のこと。
3単体とは三角形からなる四面体のこと(正四面体とか)。

あとは推して知ってください(笑)

注意していただきたいのは、2単体とか3単体は中身の詰まったものを考えてください!
各$k$単体の標準的な形のものを決めておき、これを$\varDelta _k$と書くこととしましょう。

多様体$M$の特異$k$単体とは、何回でも微分できる(=滑らかな)写像
$\sigma :\varDelta_k\rightarrow M$
のことを言います。
きちんと形を保って写ってくれていたら嬉しいですけど、つぶれたりしていても広い心で受け入れます。
$M$の特異$k$単体の整数係数の一次結合で書いたものを(形式的に考えて)$M$の特異$k$チェインと言います。
特異$k$チェイン全体を$S_k(M)$と書きます。
$M$の特異$k$単体ぜーんぶを基底とする$\mathbb{Z}$加群ということですね◎

写像の一次結合ってなんですか、という質問がありそうですが、あとで微分形式を特異チェインの上で積分します。つまり、特異チェインは積分路だと思えば納得できるかもしれません。
たとえば
\[\int_{m\sigma_1+n\sigma_2}\omega =m\int_{\sigma_1}\omega +n\int_{\sigma_2} \omega\]
ということですね◎

さて、各特異$k$単体$\sigma $は$\varDelta_k$から$M$への写像ですが、これを$\varDelta_k$の境界に制限したものを$\partial \sigma $と書きます。
0単体の境界とは空集合、
1単体の境界とは端点、
2単体の境界とは中身の詰まってない三角形、

推して知ってください(笑)

特異$k$チェインは特異$k$単体の一次結合なので、線型に拡張することによって$\partial $は$S_k(M)$から$S_{k-1}(M)$への写像になります。
また、よく観察すると境界には境界はないこと($\partial \partial =0$)もわかります。

ようやく準備ができましたが、$S_k(M)$の元のうち$\partial $で送って0になるもの全体を、$S_k(M)$の元のうち$S_{k+1}(M)$の元の境界になっているもの全体で割って商加群を作ります。
これを$M$の$k$次特異ホモロジー群と言います。
この加群のランクが$M$に$k$次元の穴がどれだけあいているかを測る指標となります。
なぜか?

…説明思いつかないw
が、$x$-$y$平面上の単位円$S^1$でやってみましょう。

$\varDelta_1$から$S^1$への特異1単体$\sigma_1$、$\sigma_2$を、それぞれ$\varDelta_1$を上半弧と下半弧に写すものとしましょう。
すると大体$\sigma_1+\sigma_2=S^1$となり、これは図形的に考えて境界はありません。
つまり、$\partial (\sigma_1+\sigma_2)=0$となります。
なお、$\sigma_1+\sigma_2\in S_1(S^1)$です。

それでは次に、$\partial \tau =\sigma_1+\sigma_2$となるような$\tau \in S_2(S^1)$はあるか?と考えると、これはありません。
なんでかというと、それは穴があいているからです(笑)
つまり、$S^1$の中がきちんと埋まっていたら、$\varDelta_2$を$S^1$の内部にべたっと写す特異2単体を$\tau $とすれば$\partial \tau =\sigma_1+\sigma_2$とできるのですが、穴があいているとそういう風にできないんです。はい。

これで直接幾何的に多様体の穴のあき方をはかる手段が得られました。

最後に1ひねりしておきます。
$S_k(M)$から$\mathbb{R}$への準同型全体を$S^k(M)$と書き、$\partial :S_{k+1}(M)\rightarrow S_k(M)$の引き戻しを$\delta :S^k(M)\rightarrow S^{k+1}(M)$と書き、$S^k(M)$の元のうち$\delta $で送って0になるもの全体を、$S^k(M)$の元のうち$S^{k-1}(M)$の元の$\delta $による像になっているもの全体で割って商群を作ります。
これを$M$の$k$次特異コホモロジー群と言います。

さて、de Rhamの定理の主張を述べますと、
「de Rhamコホモロジー群と特異コホモロジー群は同型である。」
ということになります。
微分形式という解析的なもので定義したコホモロジーと、幾何的な発想で定義したコホモロジーが等しいということです。

この同型の基になるのがStokesの定理です。
Stokesの定理とは
\[\int _{\partial \sigma }\omega =\int_{\sigma }d\omega \]
というものでした。
ここで$\sigma $は$M$の$k+1$チェイン、$\omega $は$M$の$k$次微分形式です。

この見方が私は好きなのですが、積分は
\[\int :A^k(M)\times S^k(M)\rightarrow \mathbb{R}\]
という写像だと思えます。
ここで$M$の$k$次微分形式全体を$A^k(M)$と書きました。

$\omega $を固定したとき$\int \omega $のことを$I(\omega )$と書けば、$I(\omega)\in S^k(M)$ですから、$I:A^k(M)\rightarrow S^k(M)$と考えられます。
Stokesの定理は、この写像$I$が$I\circ d=\delta \circ I$を満たすということ、定義せずに言葉を使うとde Rham複体から特異コチェイン複体へのコチェイン写像になっている、ということを主張しています。
つまり、
\[I(d\omega )(\sigma )=\int_{\sigma }d\omega =\int_{\partial \sigma }\omega=I(\omega)(\partial \sigma )=\delta(I(\omega))(\sigma )\]
ということです。
このコチェイン写像がコホモロジーに誘導する写像が実は同型だというのがde Rhamの定理なのです。

証明はまた別の機会に書きたいと思います◎

[志]志村五郎, 数学の好きな人のために, ちくま学芸文庫.
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プロフィール

ring

Author:ring
大学で微分幾何学、位相幾何学を学ぶ。
修士課程修了後、就職。
会社勤めの傍ら、数学イベントやサイエンスカフェなどで、数学のおもしろさを平易に伝える活動をしています。

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